結論から申しますと、親の宅建業免許は引き継ぐことはできません。

宅建業免許は一身専属的なもの

一身専属とは権利または義務が特定人に専属し他の者には移転しない性質のことをいいます。

個人であれ、法人であれ免許を受けた者のみ有効ということになります。

例えば、親が宅建業免許を持っていて、亡くなってしまった場合は、免許はその時点で失効したことになります。

法人であれば、会社の合併などで消滅会社が宅建業免許を持っていた場合も個人と同様に免許が失効したことになります。

会社の場合は考えにくいですが、個人の場合はその事を知らずに営業を続けてしまうと、宅建業法違反になってしまいます。

上記のような場合には行政に「廃業届」を出す必要があります。
届出事由発生から30日以内に行う事になっていますので注意しましょう。