タイトルの親の宅建業免許は引き継げるのか？という問いですが、

結論から申しますと、親の宅建業免許は引き継ぐことはできません。

宅建業免許は一身専属的なもの

一身専属とは権利または義務が特定人に専属し他の者には移転しない性質のことをいいます。

宅建業の免許は一身専属的なものに該当する為、個人であれ、法人であれ免許を受けた者のみ有効です。

一身専属的なものであるため、引き継ぐことはできません。

ですので、例えば、親が宅建業免許を持っていて、亡くなってしまった場合は、免許はその時点で失効したことになります。

法人であれば、会社の合併などで消滅会社が宅建業免許を持っていた場合、存続会社に宅建業免許がなければ個人同様に免許が失効します。（存続会社が宅建業免許を持っていれば免許失効とはなりません。）

会社の場合は考えにくいですが、個人の場合はその事を知らずに営業を続けてしまうと、宅建業法違反になってしまいます。

上記のような場合には行政に「廃業届」を出す必要があります。

「廃業届」は変更届出に該当し、届出事由発生から30日以内に行う事必要がありますので注意しましょう。